Considerações das malhas problemas estáticos lineares

Neste post tentarei apresentar algumas considerações para gerar malhas de elementos finitos para problemas estáticos lineares, sendo este um post sobre técnicas de orientação e como abordar as malhas de um modelo de elementos finitos com alguma confiança.

 

IMAGEM01

As malhas dos elementos finitos podem servir dois propósitos, o primeiro subdivide a geometria CAD sendo modelada em pedaços menores ou elementos sobre as quais é possível escrever um conjunto de equações que descrevem a solução para a equação da geometria. A malha é também utilizada para representar soluções de problemas físicos e a resolução têm um erro associado tanto com a discretização da geometria assim como discretização da solução então terá que se analisar estas descretizações separadamente.

 

IMAGEM02

Para a discretização geométrica considere duas geometrias muito simples, um bloco e um escudo cilíndrico como se vê na acima iIMAGEM01. Existem quatro tipos diferentes de elementos que podem ser utilizados para gerar as malhas destas geometrias; tetraedros (tets), Hexaedro (tijolos), prismas triangular (prismas), e elementos de pirâmide, como se vê na IMAGM02.

IMAGEM03

Os círculos em cinza representam os cantos ou nós de cada um dos elementos, e qualquer combinação dos quatros elementos acima referidos podem ser utilizados para a modelação 2D de elementos triangulares e quadriláteros que estão disponíveis. Pode ser observado que ambas as geometrias podem ser malhas com elementos do tijolo, dois prismas, três pirâmides, ou cinco tets. Algo aprendido sobre a resolução de problemas de elementos finitos lineares estáticos que se chega a uma solução numa iteração de Newton-Raphson. Sendo possível nos problemas lineares de elementos finitos independentemente da malha. E para isso pode-se observar numa malha mais simples que se pode colocar sobre essas estruturas, podendo ser visto na IMAGEM03 de um único elemento o tijolo numa dessa geometrias de discretização.

 

IMAGEM04

A malha do bloco é obviamente uma representação ideal da verdadeira geometria enquanto a malha do invólucro cilíndrico parece bastante pobre, mas na verdade ele só aparece assim quando são impressos. Os elementos são sempre representados no ecrã como tendo arestas retas isto é feito para fins de desempenho gráfico, mas geralmente usa-se um elemento de Lagrange de segunda ordem para discretizar a geometria e a solução, assim embora as arestas dos elementos sempre aparecem em linha reta estes são representados internamente como a IMAGEM04 acima.

Em que os círculos a preto representam os nós do ponto médio dessas arestas de elementos de segunda ordem, ou seja as linhas que definem as extremidades dos elementos são representados por três pontos e as arestas próximas por meio de um ajuste polinomial. Existe também um nó adicional em cada centro dessas faces quadrilaterais assim como no centro do volume para os elementos lagrangianos de segunda ordem para os hexaédricos, que são omissos para uma maior clareza. Claramente que esses elementos fazem um trabalho melhor do que representa os limites das curvas dos elementos, por norma usam-se os elementos de segunda ordem para a maioria dos cálculos físicos as duas exceções são os problemas que envolvem o transporte de substâncias químicas e na resolução de um campo de fluxo do fluido, uma vez que esse tipos de problemas são convecção e as equações que regem são melhor resolvidos com elementos de primeira ordem. A ordem dos elementos superiores também estão disponíveis, mas os elementos de segunda ordem do padrão geralmente representam um bom compromisso entre precisão e requisitos computacionais.

 

IMAGEM05

A IMAGEM05 acima mostra o erro de discretização geométrica quando se forma as malhas com um arco de noventa graus em relação aos elementos de segunda e primeira ordem

A conclusão que pode ser feita a partir deste é que pelo menos dois elementos de segunda ordem ou pelo menos oito elementos de primeira ordem é são necessário para reduzir o erro de discretização geométrica inferior a um porcento, de facto dois elementos de segunda ordem introduzem um erro de discretização geométrico de menos que um décima percentual. As malhas mais finas irão representar com uma maior precisão a geometria mas isso irá demorar e consumir mais recursos computacionais. Isto dá-nos boas orientações práticas como: Ao utilizar elementos de primeira ordem ajustar a malha de modo a que existem pelo menos oito elementos a noventa graus de arco, e ao usar elementos de segunda ordem usar dois elementos por noventa graus de arco. Com estas regras de ouro agora podemos estimar o erro para gerar a malha da geometria e podemos fazê-lo com alguma confiança antes de mesmo de ter que resolver o modelo, agora pode-se voltar a atenção para a solução da malha discretiza.

A malha de elementos finitos é também utilizado para representar a solução de campo, sendo que a solução calculada nos pontos do nó, e uma base polinomial é utilizada para interpolar esta solução ao longo do elemento para recuperar a solução total do campo. Ao resolver problemas lineares de elementos finitos estamos sempre capaz de calcular qualquer solução, não importa o quanto a malha é densa e pode não ser muito precisa. Para entender como a densidade da malha afeta a precisão da solução vamos obeservar para um problema de transferência de calor simples com as geometrias anteriores:

IMAGEM08

A diferença de temperaturas é aplicada nas faces opostas do bloco e da superfície cilíndrica. A condutividade térmica é constante e todas as outras superfícies são isoladas termicamente.

A solução para o caso de o bloco é que o campo da temperatura vária de forma linear ao longo do bloco, portanto para este modelo o único elemento hexaedro é de primeira ordem que é realmente suficiente para calcular a verdadeira solução, mas só com muita sorte é que isso acontece.

IMAGEM09

Portanto ira-se observar para o caso um pouco mais desafiador. Acabamos de observar que o modelo da superfície cilíndrica terá um erro de discretização geométrica devido às arestas curvas de modo que iria começar-se com este modelo com pelo menos dois elementos de segunda ordem ou oito de primeira ordem ao longo das curvas das arestas, e observando para o gráfico da IMAGEM05 pode-se observar que as arestas dos elementos sobre os limites das curvas enquanto os elementos interiores têm aresta retas.

Ao longo do eixo do cilindro pode-se utilizar um único elemento uma vez que o campo de temperatura não irá variar neste sentido, no entanto no sentido radial a partir do interior à superfície exterior que também necessita de ter elementos suficientes para diferenciar a solução. A solução analítica para este caso é algo como como ln(r) e pode ser comparado com a solução dos elementos finitos, desde que as funções dessas bases polinomiais não possam descrever perfeitamente a função pelo que iremos traçar o erro da solução dos elementos finitos para ambos os elementos linear e quadrática:

 

IMAGEM10

O que você pode observar a partir do gráfico da IMAGEM10 é o aumento do número de elementos no modelo e o baixar do valor do erro, sendo esta é uma propriedade fundamental do método dos elementos finitos, quantos mais elementos mais precisa a sua solução. Claro também existe um custo associado a este. Quanto mais recursos computacionais, tanto tempo e hardware são necessárias para resolver modelos maiores, mas agora ira-se perceber que não há unidades em relação ao eixo dos xx deste gráfico e isso é de propósito, porque a taxa a que o erro diminui em relação à malha de refinamento que será diferente para cada modelo e depende de muitos fatores, o único ponto importante é que vai sempre cair monotonamente para problemas conhecidos.

Pode-se também notar que depois de um determinado ponto o erro começa a subir e isso vai acontecer uma vez que os elementos das malhas individuais comecem a ficar mais pequenos e se deparam com os limites de precisão numérica ou seja os números do nosso modelo são menores do que possam ser representado com precisão num computador sendo este um problema inerente a todos os métodos computacionais e não apenas o método de elementos finitos, os computadores não podem representar todos os números reais com precisão. O ponto em que o erro começa a decrecer será aproximadamente de 2-26 e para estar do lado seguro e prático que costuma-se de dizer que o erro viável mínimo é 10-6, assim se integrar a diferença escalada entre a solução verdadeira e computado ao longo de todo o modelo.

∈=∫_Ω [(μ_compilado – μ_real)/(μ_real) ]dΩ

Dizemos que o erro ∈ pode tipicamente ser feito tão pequeno quanto 10^-6 nos limites de malha de refinamento mas na prática as entradas para os modelos irão ter normalmente um número maior de incerteza do que isso, também convém ter em mente que em geral não sabemos a verdadeira solução ao contrário tem que comparar as soluções calculadas entre malhas de diferentes dimensões e observar o que valoriza a convergência da solução.

 

IMAGE11

Uma breve descrição sobre a adaptatividade e refinamento da malha, pelo que as parcelas acima mostram que o erro diminui à medida que os elementos do modelo são dimensionado de uma forma pequena, no entanto o ideal é que só se faça com que os elementos menores das regiões onde o erro é alto. Nos softwares isto é endereçado através da adaptatividade e refinamento da malha que primeiro resolve em uma malha inicial e de forma iterativa insere elementos em regiões onde o erro é estimado é alto e então re-resolve-se o modelo. Isso pode ser continuado pelo número de iterações que desejar. Esta funcionalidade funciona com elementos triangulares em 2D e tetraédricos em 3D, para examinar este problema no contexto dum simples problema de mecânica estrutural; uma placa sob tensão uniaxial com um orifício, como se mostra na IMAGEM11 acima, usando a simetria apenas num quarto do modelo que necessita de ser resolvido.

 

IMAGEM12

Os campos de deslocamentos calculados e as tensões resultantes são bastante uniforme a alguma distância do orifício mas variam fortemente nas proximidades. A IMAGEM12 mostra uma malha inicial assim como as várias iterações resultes do refinamento das malhas adaptativas juntamente com o campo de tensão calculada. Nota-se que preferencialmente insere elementos menores ao redor do furo, isso não deveria ser uma surpresa já que se sabe que haverá maiores tensões em torno do furo, na prática, recomenda-se usar uma combinação de refinamento adaptativo da malha, a decisão técnica e experiência para encontrar uma malha aceitável.

Resumo dos principais pontos. Haverá a necessidade de querer realizar um estudo do refinamento de malha e comparar os resultados das diferentes malhas de diferentes dimensões. O usar do seu conhecimento do erro de discretização geométrica para escolher como uma malha grosseira e iniciar quanto possível e refinar a partir daí. Poder-se refinar a malha adaptativa ou a sua próprio decisão de técnico de engenharia para refinar a malha.